La trigonometria si occupa dello studio dei triangoli a partire dai loro angoli. Tuttavia, gli usi delle funzioni e delle formule trigonometriche hanno un’importanza che va molto al di là di questo, e si ritrovano non solo in altre branche della matematica, ma anche in fisica, biologia e ingegneria.
Per descrivere i valori utilizzati in trigonometria, a cosa corrispondono e come si calcolano, si deve partire da un cerchio trigonometrico: si tratta di un semplice cerchio disegnato in un piano cartesiano con il centro nel punto (0; 0) (quindi all’incontro degli assi x e y) e con il raggio di lunghezza 1.
Su questo cerchio disegniamo un qualsiasi angolo \(\alpha\), e da questo possiamo ricavare, innanzitutto per via grafica, i valori trigonometrici ad esso associati: seno, coseno, tangente e cotangente. Vedremo poi nel dettaglio il significato di ciascuno di essi:
Preso un angolo \(\alpha\), si vede che:
- \(\sin \alpha\) è la proiezione sull’asse verticale dell’angolo \(\alpha\);
- \(\cos \alpha\) è la proiezione sull’asse orizzontale dell’angolo \(\alpha\);
- \(\tan \alpha\) è il segmento sulla tangente al cerchio trigonometrico che va dall’asse orizzontale al punto in cui la retta tocca il cerchio in corrispondenza di dove si trova il raggio che delimita l’angolo;
- \(\cot \alpha\) è il segmento sulla tangente al cerchio trigonometrico che va dall’asse verticale al punto in cui la retta tocca il cerchio in corrispondenza di dove si trova il raggio che delimita l’angolo.
Come si può vedere, \(\sin \alpha\) e \(\cos \alpha\), sono anche i due cateti del triangolo rettangolo che ha per ipotenusa il raggio che delimita l’angolo \(\alpha\).
Nota: in alcuni testi il seno è indicato con sen, la tangente con tg e la cotangente con cotg o cotan. Si tratta di notazioni equivalenti, e non bisogna preoccuparsi di queste differenze.
Prima di entrare più in dettaglio, si capisce già che tutta i valori trigonometrici variano in base all’ampiezza dell’angolo. In molti ambiti, tale ampiezza si misura in gradi, ma questo non è conveniente in campo trigonometrico: infatti, i gradi sono un sistema di misurazione non decimale (un grado si divide in 60 minuti di grado, a sua volta diviso in 60 secondi di grado, e non in decimi come si fa normalmente), che non è compatibile se inserito in funzioni in cui ci siano i classici numeri decimali. È pertanto necessario utilizzare un sistema di misurazione diverso, in base 10 come tutti gli altri numeri comunemente usati. Per questo si deve introdurre la misurazione in radianti.
Ogni angolo determina un arco sul cerchio, con estremità l’intersezione del cerchio con la parte positiva dell’asse orizzontale e il punto in cui il raggio che delimita l’angolo tocca la circonferenza. Il caso più semplice è un angolo di 360°: questo corrisponde all’intero cerchio. Il radiante è la misura dell’arco determinato da un certo angolo sul cerchio trigonometrico, che ricordiamo è di raggio 1. Il caso più semplice, come appena detto, è l’angolo di 360°, che avrà dunque lunghezza in radianti pari all’intera circonferenza. La lunghezza di una circonferenza si calcola con: \(2 \pi r\). Dato che abbiamo \(r = 1\), un angolo di 360° vale in radianti \(2 \pi\), quindi circa \(6,28\). Da questa considerazione possiamo ricavare la lunghezza in radianti di qualsiasi angolo: ad esempio, l’angolo di 180° varrà la metà, quindi \(\pi\), quello di 60° un sesto, quindi semplificando \(\frac{\pi}{3}\) e così via. Di seguito la lunghezza dei principali angoli in radianti:
| Gradi | Radianti |
| 30° | \(\frac{\pi}{6}\) |
| 45° | \(\frac{\pi}{4}\) |
| 60° | \(\frac{\pi}{3}\) |
| 90° | \(\frac{\pi}{2}\) |
| 120° | \(\frac{2 \pi}{3}\) |
| 180° | \(\pi\) |
| 270° | \(\frac{3 \pi}{2}\) |
| 360° | \(2 \pi\) |
Una volta che ci siamo abituati a considerare gli angoli in radianti, si possono vedere i valori che le funzioni seno e coseno assumono per gli angoli più comuni. Inoltre, tangente e cotangente si possono ottenere come i rapporti rispettivamente di seno su coseno e viceversa:
\(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\) e \(\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\)
Ricordiamo di nuovo che seno e coseno sono i due cateti del triangolo rettangolo che ha per ipotenusa il raggio del cerchio goniometrico, che vale 1. Dunque, applicando il teorema di Pitagora: \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\)
È per questo sufficiente conoscere o il seno o il coseno di un certo angolo per ottenere l’altro valore.
Arricchiamo dunque la tabella sopra con i nuovi dati:
| Gradi | Radianti | Seno | Coseno | Tangente | Cotangente |
| 30° | \(\frac{\pi}{6}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) | \(\sqrt{3}\) |
| 45° | \(\frac{\pi}{4}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(1\) | \(1\) |
| 60° | \(\frac{\pi}{3}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\sqrt{3}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) |
| 90° | \(\frac{\pi}{2}\) | \(1\) | \(0\) | \(+\infty\) | \(0\) |
| 120° | \(\frac{2 \pi}{3}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(-\frac{1}{2}\) | \(-\sqrt{3}\) | \(-\frac{\sqrt{3}}{3}\) |
| 180° | \(\pi\) | \(0\) | \(-1\) | \(0\) | \(-\infty\) |
| 270° | \(\frac{3 \pi}{2}\) | \(-1\) | \(0\) | \(-\infty\) | \(0\) |
| 360° | \(2 \pi\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) | \(+\infty\) |
Da questa tabella, insieme con le considerazioni fatte in precedenza, si possono fare alcune osservazioni importanti:
- Tutte le funzioni trigonometriche sono funzioni periodiche, cioè i loro valori, arrivati a un certo punto, si ripetono. Quanto vale il periodo delle funzioni (cioè, dopo quanto iniziano ad avere di nuovo gli stessi valori)? Per il seno e il coseno, come si osserva anche facilmente dal disegno, il periodo vale \(2\pi\): infatti, una volta fatto un giro completo della circonferenza, i valori ricominciano ad essere quelli di prima. Per questo solitamente si indicano i valori di seno e coseno solo fino a \(2\pi\): con valori superiori (o anche inferiori a 0, è perfettamente lecito calcolare, come si vedrà, le funzioni trigonometriche di valori negativi) si hanno di nuovo gli stessi risultati. Per questo, ad esempio, \(\sin \pi = \sin 3\pi = \sin -\pi\): ogni \(2\pi\) si ripetono i medesimi valori.
Tangente e cotangente hanno invece periodo \(\pi\): vedremo questo risultato in dettaglio poco oltre, con i grafici delle varie funzioni. - Dato che tangente e cotangente sono rapporti tra seno e coseno (e viceversa), quando il denominatore della frazione vale 0, ovviamente il valore della relativa funzione non è calcolabile. Quando il denominatore si avvicina sempre più a 0, il numeratore va sempre più verso 1 (oppure -1): ne risulta un numero sempre più grande, che può essere positivo o negativo in base al segno che assumono seno e coseno. Si ha quindi un limite all’infinito, che in base al segno può essere \(+\infty\) o \(-\infty\).
Siamo arrivati al punto di poter disegnare i grafici delle funzioni seno e coseno, sarebbe a dire \(f(x) = \sin x\) e \(f(x) = \cos x\):
Osservando i grafici delle funzioni seno e coseno risulta evidente la loro periodicità, e si nota anche che le due funzioni sono sfasate di \(\frac{\pi}{2}\). Assumono sempre valori nell’intervallo \([-1; 1]\) e non hanno alcun limite.
Le funzioni tangente e cotangente, come si è accennato, hanno invece dei limiti alle loro estremità e hanno periodo \(\pi\):
Abbiamo visto le funzioni base della trigonometria, la misura degli angoli in radianti, i grafici delle funzioni. A questo punto introdurremo alcune altre funzioni trigonometriche e infine, tralasciando le dimostrazioni, riporteremo un formulario utile per trovare seno e coseno di una serie di angoli sapendo ad esempio il seno o il coseno dell’angolo ampio la metà o della somma di due angoli.
Innanzitutto trattiamo brevemente delle funzioni inverse: arcocoseno (arcsin), arcoseno (arccos), arcotangente (arctan) e arcocotangente (arccot). Si tratta semplicemente di funzioni che come argomento prendono un certo valore, e hanno come risultato l’ampiezza in radianti dell’angolo, compreso in \([0; 2\pi]\), che assume quel determinato valore come coseno, seno, tangente e cotangente rispettivamente. Ad esempio:
\(\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt 2}{2} => \arcsin \frac{\sqrt 2}{2} = \frac{\pi}{4}\)\(\tan \frac{\pi}{3} = \sqrt 3 => \arcsin \sqrt 3 = \frac{\pi}{3}\)
Infine concludiamo questa panoramica sulla trigonometria con un formulario, che permette di trovare i valori delle funzioni trigonometriche partendo dalla somma o differenza di due angoli o di due funzioni o dalla duplicazione di un angolo. Prestare attenzione alla differenza che c’è, ad esempio, tra \(\sin (x + y)\) e \(\sin x + \sin y\): nel primo caso sono le ampiezze degli angoli a essere sommate, nel secondo caso sono i valori della funzione seno per ciascuno dei due angoli.
Formule di addizione e sottrazione
\(\sin(x \pm y) = \sin(x) \cos(y) \pm \cos(x) \sin(y)\)\(\cos(x \pm y) = \cos(x) \cos(y) \mp \sin(x) \sin(y)\)
\(\tan(x \pm y) = \frac{\tan(x) \pm \tan(y)}{1 \mp \tan(x)\tan(y)}\)
\(\cot(x \pm y) = \frac{\cot(x) \cot(y) \mp 1}{\cot(x) \pm \cot(y)}\)
Formule di duplicazione
\(\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x)\)\(\cos(2x) = \cos^2(x) – \sin^2(x) = 2 \cos^2(x) – 1 = 1 – 2 \sin^2(x)\)
\(\tan(2x) = \frac{2 \tan (x)} {1 – \tan^2(x)}\)
\(\cot(2x) = \frac{\cot^2 (x) – 1} {2\cot(x)}\)
Formule di Werner
\(\cos(x) \cos(y) = {\cos(x + y) + \cos(x – y) \over 2}\)\(\sin(x) \sin(y) = {\cos(x – y) – \cos(x + y) \over 2}\)
\(\sin(x) \cos(y) = {\sin(x + y) + \sin(x – y) \over 2}\)
Formule di prostaferesi
\(\sin(x) + \sin(y) = 2 \sin\left( \frac{x + y}{2} \right) \cos\left( \frac{x – y}{2} \right)\)\(\sin(x) – \sin(y) = 2 \cos\left( \frac{x + y}{2} \right) \sin\left( \frac{x – y}{2} \right)\)
\(\cos(x) + \cos(y) = 2 \cos\left( \frac{x + y}{2} \right) \cos\left( \frac{x – y}{2} \right)\)
\(\cos(x) – \cos(y) = -2 \sin\left( \frac{x + y}{2} \right) \sin\left( \frac{x – y}{2} \right)\)