Una successione è una serie di numeri che segue una determinata regola per il suo avanzamento. Lo stesso insieme dei numeri naturali può essere considerata una successione, con la regola che il termine successivo è uguale al precedente più uno. Formalmente, questo si indica con: \(a_{n+1} = a_n + 1\).
Le successioni possono essere applicate a qualsiasi insieme numerico (mentre \(n\) è sempre un numero naturale), e possono avere termini ripetuti più volte. Nel caso limite \(a_{n+1} = a_n\) tutti gli elementi assumono lo stesso valore.
Il primo termine della successione può essere definito esplicitamente, oppure si può semplicemente specificare in quale insieme numerico la successione debba essere applicata. Due esempi pratici per chiarire:
- \((0, 1, \cdots, a_n=a_{n-1}+a_{n-2}, \cdots)\): nella successione di Fibonacci bisogna specificare i primi due termini, quelli successivi sono invece dati dalla somma dei due precedenti. Si può anche scrivere: \(a_n = a_{n-1} + a_{n-2}\), dati \(a_0 = 0\) e \(a_1 = 1\)
- \(a_n = n^2\), con \(n \in \mathbb{N}\)
La prima caratteristica che può avere una successione è la monotonia, cioè l’andamento in una sola direzione della serie numerica. Una successione si dice monotòna crescente se: \(a_{n+1} \geq a_n \forall n \in \mathbb{N}\); si dice monotòna decrescente se: \(a_{n+1} \leq a_n \forall n \in \mathbb{N}\).
Si presti attenzione alle definizioni di poc’anzi: una successione monotòna è tale anche se più elementi successivi sono uguali, l’importante è che se cresce non passi a valori minori, se decresce non vada a valori maggiori. Il caso limite di una successione costante, dove tutti gli elementi sono uguali, è sia una successione monotòna crescente che decrescente.
Nel caso si vogliano prendere in considerazione solo le successioni senza valori uguali, si parla di successione monotòna strettamente crescente (se \(a_{n+1} > a_n \forall n \in \mathbb{N}\)) o strettamente decrescente (se \(a_{n+1} < a_n \forall n \in \mathbb{N}\)).
Una successione è una sequenza infinita, dato che possiede n elementi, con n un qualsiasi numero naturale. Per questo un problema interessante e estremamente rilevante in matematica è capire, man mano che la successione va avanti, se si avvicina (o raggiunge) un dato valore, se assume valori sempre più grandi (in positivo o in negativo) oppure se oscilla in certo intervallo senza mai prendere una determinata direzione.
Quando una successione ha questa direzione, si dice che essa possiede un limite per n che tende all’infinito. In maniera formale il limite di una successione per n che tende all’infinito si scrive:
\(\lim_{n\to\infty} a_n\)Se la successione cresce costantemente, ad esempio \(a_{n+1} = a_n + 1\), allora la successione si dice divergente, e si scrive:
\(\lim_{n\to\infty} a_n= \pm\infty\),
con il segno davanti al simbolo dell’infinito che può essere positivo o negativo nel caso la successione assuma valori sempre più grandi in positivo o negativo rispettivamente.
Se invece la successione tende ad assumere un determinato valore, anche se questo valore non è effettivamente mai raggiunto, ad esempio 1 nella successione \(a_n = \frac{n + 1}{n}\), la successione si dice convergente e si scrive:
\(\lim_{n\to\infty} a_n= l\),
con \(l\) chiaramente il valore a cui la successione tende.
Infine, quando una successione non assume nessuno dei comportamenti precedenti, ad esempio \(a_n = \sin n\) (ricordiamo dalla trigonometria che seno e coseno oscillano tra +1 e -1), questa si dice indeterminata e si scrive:
\(\not\exists \lim_{n\to\infty} a_n\)