Logica: proposizioni, operatori e tavole di verità

La logica, in matematica, è una disciplina che si occupa di valutare se delle affermazioni, e soprattutto la relazioni tra esse, siano vere o false. È un ambito che si lega da un lato alla filosofia e dall’altro all’informatica, per cui si ritrova in contesti anche molto differenti.

Innanzitutto, si deve partire dal considerare quali affermazioni (le proposizioni) possano essere considerate valide in logica. Infatti, le proposizioni valide sono quelle che sostengono (dicendo il vero o il falso) qualcosa di oggettivo, come ad esempio il risultato di un’operazione matematica, una nozione geografica o il nome di una persona. Affermazioni soggettive, che non sono necessariamente vere o false per tutti e in ogni caso, non possono essere ammesse. Vediamo degli esempi di proposizioni valide:

• Parigi è in Francia
• La radice quadrata di 16 è 8
• La formula chimica dell’acqua è H₂O
• 100 + 123 = 223

Come si vede, non è necessario che la proposizione sia vera (la radice quadrata di 16 è ovviamente 4, non 8), anzi, se le proposizioni ammesse fossero solo quelle vere, la logica non avrebbe motivo di esistere. Quello che è importante è che le affermazioni devono essere o sempre vere o sempre false. Vediamo degli esempi di proposizioni non valide:

• Il mare è più bello della montagna
• 1000 è un numero grande
• Nella vita conta la salute
• Un oggetto di 50 kg è pesante

Le affermazioni viste ora non possono essere ammesse, poiché si tratta di affermazioni soggettive, per quanto alcune possono a prima vista apparire oggettive (sia come vere o false). La validità deve essere infatti universale, non dipendere da punti di vista, da idee personali o da paragoni impliciti (ad esempio, 1000 è un numero grande in alcuni casi, ma piccolo in altri – dipende dal contesto, dall’unità di misura e a volte anche dall’esperienza individuale).

Appurato quali sono le affermazioni valide nel campo della logica, a ciascuna possiamo fornire univocamente un valore: vero o falso, indicati semplicemente con V e F (o talvolta con i numeri 1 e 0, specie in ambito informatico).

Quello che fa la logica di base, è determinare se due o più proposizioni concatenate diano origine a una costruzione vera o falsa. Questo dipende da due cose: dal valore dell’affermazione e dal modo in cui queste sono legate tra loro: questa seconda funzione è svolta dagli operatori.

Prima di introdurre i simboli di ciascun operatore, guardiamo la differenza con degli esempi in italiano, concatenando due affermazioni con le congiunzioni e ed oppure (con valore esclusivo, cioè o la prima o la seconda, ma non entrambe):

• Proposizione p : 220 + 30 = 250
• Proposizione q : La capitale dell’Italia è Roma
• p e q : (è vero che) 220 + 30 = 250 e la capitale dell’Italia è Roma
• p oppure q : (o è vero che) 220 + 30 = 250 oppure la capitale dell’Italia è Roma

Come si vede, entrambe le proposizioni di partenza sono vere. Quando queste vengono unite da una e il risultato è vero: la frase che sostiene sia che p sia che q siano vere è vera. Invece, se sono unite da un oppure (detto anche o esclusiva), il risultato è falso: questo operatore logico sostiene che sia vera solo una delle due affermazioni, mentre nel nostro caso sono vere entrambe.

Ora che abbiamo visto degli esempi espressi in maniera informale, vediamo in dettaglio quali sono gli operatori logici più usati:

Con questi operatori logici possiamo mettere in relazione più proposizioni, e determinare se quello che otteniamo è una proposizione complessa vera o falsa: questo dipende dal tipo di operatore e dal fatto se ciascuna delle proposizioni originali sono vere o false. In questo modo possiamo creare delle tabelle che riassumono tutti i possibili casi: le tavole di verità.

Le tavole di verità sono costituite da quattro righe, che considerano tutte le possibili combinazioni tra le due proposizioni iniziali: vero-vero, vero-falso, falso-vero, falso-falso. Se vogliamo concatenare più di due proposizioni, di solito si analizzano a due a due mettendo le opportune parentesi se si vuole dare la precedenza a un confronto piuttosto che ad un altro, come nelle espressioni numeriche.

La tavola di verità della negazione (simbolo \(\neg\)) è più semplice, perché semplicemente trasforma in falsa una proposizione vera (o una serie di proposizioni valutate in blocco come vere) e in vera una falsa.

Vediamo ora le tavole di verità per gli operatori logici visti prima:

Congiunzione logica

Commento: la congiunzione, per valutare la proposizione risultante come vera, esige che si verifichi sia la prima che la seconda affermazione, per cui il risultato sarà vero solo quando entrambe le proposizioni sono vere.

Disgiunzione logica

Commento: la disgiunzione richiede che si verifichi almeno una delle due proposizioni, per cui basta che una delle due sia vera affinché la loro relazione con questo operatore sia vera.

Disgiunzione esclusiva

Commento: nella disgiunzione esclusiva, che avevamo visto anche nei primi esempi, il risultato è vero se si verifica solo una delle due proposizioni: per cui, quando sono entrambe vere o entrambe false la loro relazione è falsa, mentre è vera quando una è di un tipo e l’altra di un altro.

Implicazione

Commento: bisogna stare attenti con questo operatore: infatti, a volte il risultato può essere diverso da quello che ci si aspetta. La relazione che si crea non deve per forza essere tra due proposizioni che riguardano lo stesso ambito (ad esempio “se l’acqua congela allora è a meno di zero gradi”), ma anche proposizioni che trattano cose completamente diverse. Per questo, l’unica condizione richiesta è che q sia vera, oppure che entrambe siano false. L’unico caso in cui questa relazione è falsa, è quando la verità di p implica la falsità di q. A volte per distinguere l’implicazione “pura”, che non considera il fatto che le due proposizioni riguardino la stessa cosa, dall’implicazione di senso, si usa per questa seconda l’operatore \(\Rightarrow\).

Doppia implicazione

Commento: si differenzia dall’implicazione semplice poiché la relazione stabilita è vera solo se entrambe sono vere o entrambe sono false: alla verità o falsità di una deve per forza seguire la verità o la falsità dell’altra.