Dopo le operazioni basilari (addizione, moltiplicazione, sottrazione e divisione) e l’elevamento a potenza, sono i logaritmi e gli esponenziali le funzioni più comuni applicate a dei numeri reali.
Un generico logaritmo si scrive come: \(log_b a\) e si legge logaritmo di a in base b. Questo indica l’esponente che bisogna assegnare alla base b per ottenere il numero a. Ad esempio: \(log_2 8 = 3\) , dato che la base 2 deve essere elevata alla potenza 3 per ottenere 8.
Sebbene il logaritmo di un numero positivo si possa calcolare per qualsiasi base (anch’essa positiva), sono due le basi maggiormente usate. La prima è 10, la seconda è un numero detto numero di Eulero ed indicato con \(e\).
Il numero di Eulero è un numero irrazionale che ha un vasto uso in matematica, ed è definito come il valore a cui tende la funzione \(\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^n\), quando n, numero naturale, diventa sempre più grande (o, per dirlo in modo più corretto, tende verso infinito). In maniera approssimata \(e\) ha un valore di 2,72.
Il logaritmo in base \(e\) è detto anche logaritmo naturale, e spesso si indica con \(\ln\).
Per quali valori sono definiti i logaritmi? Un logaritmo si può calcolare per ogni valore strettamente positivo, quindi si ha che \(log_a b\) è definito per ogni \(b > 0\).
Il grafico della funzione logaritmica più semplice, \(f(x) = ln (x)\), è:
Come si vede, questa importante funzione vale ovviamente 1 per \(x = e\), 0 per \(x = 1\) (infatti qualsiasi numero elevato a 1 restituisce 0), e diventa sempre più negativa man mano che \(x\) si avvicina allo 0. Infatti, per ottenere numeri più piccoli di 1, \(e\) va elevato a esponenti negativi, dato che ricordiamo che \(x^{-a} = \frac{1}{x^a}\).
Una proprietà importante dei logaritmi è che il logaritmo di un prodotto equivale alla somma dei logaritmi di ciascun membro della moltiplicazione: \(log_a (b · c) = log_a b + log_a c\). Allo stesso modo \(\frac{log_a b}{log_a c} = log_a b – log_a c\). Questo, che deriva dalle proprietà delle potenze (infatti \(a^{b^c} = a^{b + c}\)), ha numerosi usi nella semplificazione di equazioni, per trasformare prodotti e divisioni in addizioni e sottrazioni.
La funzione esponenziale ha anch’essa a che fare con il numero di Eulero, ed è sostanzialmente l’operazione inversa al logaritmo naturale. Una generica funzione esponenziale ha infatti formula \(e^{f(x)}\), ed è in sostanza una funzione, di qualsiasi tipo, a cui bisogna elevare il numero di Eulero.
Essendo \(e\) un numero reale positivo, esso può venire elevato a qualsiasi valore, per cui i limiti di esistenza della funzione esponenziale dipendono solo da gli eventuali limiti che ha \(f(x)\). Ad esempio, \(e^{\frac{1}{n}}\) non esisterà per \(x = 0\), ma solo perché \(\frac{1}{n}\) non può essere calcolata per quel valore. Di per sé, il fatto che si tratti dell’esponente di \(e\) non condiziona in nessun modo l’insieme dove la funzione è definita.