La geometria analitica è la parte della geometria che si occupa di rappresentare punti, rette, curve e figure geometriche su un piano cartesiano, cioè un piano identificato da due assi (solitamente indicati con x e y) sul quale ogni punto ha una sua precisa coordinata.
Iniziamo quindi a vedere le caratteristiche del piano cartesiano: come accennato prima, esso è identificato da due rette perpendicolari tra loro: l’asse delle ascisse (indicato con x), orizzontale, e l’asse delle ordinate (indicato con y), verticale.
Queste due assi, che sono di lunghezza infinita, vengono suddivise in parti uguali, ciascuna della dimensione convenzionale 1. Se ad esempio vengono disegnate su un quaderno a quadretti, il lato di ogni quadretto può essere considerato di lunghezza 1. Non stiamo infatti parlando di un’unità di misura in centimetri, millimetri ecc. ma soltanto di una qualsiasi suddivisione in parti tutte uguali tra loro. A cosa ci serve questo? In questo modo potremo così identificare ogni punto del piano da una coppia di numeri, detti coordinate: il primo indica la posizione rispetto all’asse delle x (quindi quanto a destra o a sinistra si trova il punto), il secondo la posizione rispetto all’asse delle y (quindi quanto in alto o in basso il punto è localizzato). I numeri si iniziano a contare dall’origine degli assi, cioè dove questi si incontrano: questo punto ha coordinate (0; 0). Le ascisse a sinistra dell’origine avranno quindi numeri negativi, quelle a destra positivi. Stesso discorso vale per le ordinate, per i punti rispettivamente sotto e sopra l’origine.
Le coordinate sono numeri reali, quindi possono assumere valori frazionari e anche valori irrazionali.
Con due punti si può ovviamente determinare un segmento, che abbia come estremi proprio i due punti presi in considerazione. Se a questo segmento si dà una direzione, cioè si specifica quale punto deve essere considerato l’inizio e quale la fine, si parla di vettore. Un vettore è quindi un segmento orientato, con una certa lunghezza, una certa direzione e una collocazione sul piano cartesiano.
I vettori hanno una notevole importanza soprattutto in fisica, qui vedremo le basi matematiche di questi elementi. Un vettore è indicato con le lettere dei due punti presenti ai suoi estremi, e con una freccia sopra ad indicare in che verso debba essere considerato: infatti, \(\overrightarrow{AB}\) e \(\overleftarrow{AB}\) sono due vettori con gli stessi estremi e la stessa lunghezza, ma con verso opposto, e quindi non sono uguali.
Come si calcola il modulo – cioè la lunghezza – di un vettore (e in generale la lunghezza di qualsiasi segmento, anche non orientato, sul piano cartesiano)? Si ricorre al teorema di Pitagora. Infatti, a meno che non ci troviamo con un vettore parallelo a uno dei due assi, per cui il calcolo della sua lunghezza diventa immediato (basta guardare per quante unità si estende il vettore o il segmento affiancato all’asse), possiamo considerare il vettore o il segmento come l’ipotenusa di un triangolo rettangolo, con i cateti corrispondenti alle sue componenti cartesiane, cioè alle sue proiezioni sui due assi, opportunamente traslate. Con un’immagine si capisce molto più rapidamente:
Come si vede nella figura, abbiamo quindi il vettore \(\overrightarrow{AB}\) scomposto nelle due componenti parallele a ciascuno dei due assi: \(\overrightarrow{AB_x}\) e \(\overrightarrow{AB_y}\), che essendo tra di loro perpendicolari formano di fatto un triangolo rettangolo con il vettore originale.
La lunghezza di questi due cateti è facile da determinare: basta prendere le coordinate dei due estremi e sottrarre la ascissa del punto finale a quella del punto iniziale per ottenere \(\overrightarrow{AB_x}\) e le relative ordinate per avere \(\overrightarrow{AB_y}\). Nel nostro caso:
\(AB_x = A_x – B_x = 4 – (-1) = 5\)
e
\(AB_y = A_y – B_y = 5 – (-1) = 6\)
A questo punto si ottiene il modulo di \(\overrightarrow{AB}\) (ma ricordiamo che vale anche per calcolare la lunghezza di qualsiasi segmento) con il teorema di Pitagora:
\(AB = \sqrt{ {AB_x}^2 + {AB_y}^2 } = \sqrt{5^2 + 6^2} = \sqrt{25 + 36} = \sqrt{61} \simeq 7.81\)