Insiemi numerici: naturali, interi, razionali, reali, complessi

I numeri sono a prima vista uno di quei concetti così intuitivi che non ha senso pensare di classificare. Al contrario, la corretta collocazione di essi all’interno di insiemi numerici via via più completi (e che contengono al loro interno per intero quelli precedenti) è un punto fondamentale per definire quali operazioni siano possibili e quali valori siano calcolabili e rappresentabili.

L’insieme di numeri più semplice, e con il rapporto più diretto con l’esperienza, è quello dei numeri naturali, indicato con N. I numeri naturali sono i numeri interi positivi, usati da sempre e in ogni cultura per contare gli oggetti del mondo che ci circonda. L’inizio della sequenza dei numeri naturali sarà quindi N = {0; 1; 2; 3; 4; 5; …}. Come tutti gli insiemi numerici, N è infinito, ma ha un limite inferiore (lo 0) e tra un valore e un altro c’è sempre un numero finito di altri valori (che può corrispondere anche a un insieme nullo se i valori presi in esame sono consecutivi). L’addizionee la moltiplicazione sono le uniche operazioni che è sempre possibile fare. La sottrazione è possibile solo se, essendo a e b due numeri naturali e volendo calcolare a – b, a sia maggiore o ugale a b (quindi a ≥ b). La divisione a / b si può fare solo se a è un multiplo di b.

L’insieme dei numeri naturali si estende innanzitutto con i numeri interi, indicato con Z. La differenza con N è che nei numeri naturali sono contemplati anche i valori negativi. Questo porta a due differenze con l’insieme precedente: l’insieme non è limitato ai suoi estremi e la sottrazione è sempre possibile. Le altre proprietà sono analoghe.

Affinché la divisione tra due numeri interi sia sempre possibile, è necessario estendere ulteriormente l’insieme precedente con quello dei numeri razionali, indicato con Q. I numeri razionali sono tutti i numeri rappresentabili con una frazione, per cui la forma generale di un numero razionale c è: c = a / b, con a e b numeri interi e b ≠ 0.

L’insieme dei numeri razionali ha anche un’altra importante proprietà: si tratta di un insieme denso. Un insieme è detto denso se, presi qualsiasi due valori al suo interno, esistono infiniti valori tra essi. Mentre negli insiemi numerici visti prima se prendiamo, ad esempio, i valori a = 4 e b = 6, tra di essi c’è solo 5, nell’insieme Q abbiamo infiniti valori. Tra due numeri c’è come minimo la loro metà, che determina due intervalli simmetrici entrambi ulteriormente divisibili per 2, e così via all’infinito.

Anche in questo caso, però, abbiamo dei valori non calcolabili. Infatti, non tutti i numeri possono essere rappresentati in modo esatto da frazioni. I cosiddetti numeri irrazionali non contemplano questa possibilità, eppure rappresentano una classe importantissima di numeri. Tra i tanti numeri irrazionali che si trovano spesso vi sono ad esempio radici quadrate molto usate, come √2 e √3, il pi greco e il numero di Eulero e (che vedremo essere fondamentale nei logaritmi). Questi numeri hanno infinite cifre decimali ma non sono periodici (cioè con un certo blocco di cifre ripetuto con regolarità). Pertanto, nessuna frazione è in grado di descriverli con esattezza, ma al più può approssimarli.

Per includere anche i numeri irrazionali si ricorre all’insieme dei numeri reali, indicato con R. Fanno parte dei numeri reali tutti i numeri rappresentabili in forma decimale con un numero finito o infinito di cifre.

C’è solo una tipologia di numeri che non è rappresentata in R, con una certa importanza in fisica e in ingegneria, oltre ovviamente nella matematica pura. Si tratta dei numeri che sono risultato delle radici pari di numeri negativi. Infatti, nel campo dei numeri reali non esiste nessun numero che moltiplicato per sé stesso (ed eventualmente rimoltiplicato ancora per sé stesso per altre due, quattro, sei, ecc. volte) dia un numero negativo.  Per questo si hanno i numeri complessi (insieme C), che sono scritti nella formula a + ib, dove a e b sono numeri reali, mentre i è l’unità immaginaria, che è la soluzione dell’equazione i² = -1, chiaramente non risolvibile all’interno di R.

Un riepilogo sugli insiemi numerici: